Информация о работе:
Дисциплина: Математический анализ
Тип работы: Лабораторные работы

Расчетно-аналитическая работа в программе WXMaxima

Фрагмент текста
Рисунок 3Эластичность спроса первого товара по цене вычисляется по формуле: Для поставленной задачи получено в СКМ Maxima:(%o35) -2828/(5*P^2)(%o36) -1Эластичность спроса по цене ED= -1.Эластичность спроса первого товара по цене показывает, что спрос на этот товар уменьшится (увеличится) на 1% если цена увеличится (уменьшится) на 1%.Ответ: Максимальная полезность достигается на наборе товаров, уравнение кривой безразличия, проходящей через оптимальную точку:, Норма замены второго товара первым в оптимальной точке:, функция спроса для первого товара:, эластичность спроса по цене на первый товар: E(x)= -1.Задача 7. Проведите полное исследование функции и постройте ее график. Выполните дополнительные задания: Найдите уравнения касательных к графику функции во всех точках, в которых, и изобразите на отдельном чертеже график функции и найденные касательные; Найдите уравнения касательных к графику функции во всех точках, в которых, и изобразите на отдельном чертеже график функции и найденные касательные; Найдите уравнение прямой, пересекающей график в точках, а также уравнение касательной к графику функции в точке, где - точка, удовлетворяющая соотношению теоремы Лагранжа, и изобразите график функции, прямую и касательную на одном чертеже; В точке получите многочлены Тейлора и постройте графики исходной функции и многочленов на отдельном чертеже.Решение: Область определения функции:.Функция не является ни четной, ни нечетной.Вычисляем пределы функции на границы области определения:, ,,.Вертикальная асимптота - двухсторонняя.Горизонтальных асимптот нет.Находим производную функции. Находим критические точки функции: Точки - стационарные, - особая.Определим знаки производной на промежутках, на которые область определения разбивается критическими точками, показаны на рисунке 4. В точке достигается минимум функции.
Показать еще
Эту работу защитили на 5
Похожие работы:
  • Расчетно-Аналитическая работа

    Таким образом, потребление второго товара увеличится (уменьшится) на 1.2 единицы при уменьшении (увеличении) потребления первого товара на единицу без изменения уровня функции полезности 43109.89 в оптимальной точке.Функция спроса. Функция спроса x=x(p, q, I), y=y(p, q, I) получают из системы уравненийЕсли положим q=5, I=1768, то получим функцию спроса для первого товара: Таким образом, x= 6153/(8*P). График функции спроса для первого товара изображен на рис. 6.3.Рис. 6.3.Эластичность для первого товара по цене вычисляется по формуле:.Для поставленной задачи получено в СКМ Maxima: Эластичность спроса первого товара по цене показывает, что спрос на этот товар уменьшится на 1%, если цена увеличится (уменьшится) на 1%.Ответ. Максимальная полезность д.е. достигается при наборе товаров (128.18;199.77), уравнение кривой безразличия, проходящей через оптимальную точку, Норма замены второго товара первым в оптимальной точке MRS=1.2, функция спроса для первого товара: = 6153/(8*P), эластичность спроса по цене на первый товар: E(x)= -1.0.Задание 7. Исследование функции одной переменной. Проведите полное исследование функции и постройте её график. Выполните дополнительные задания:1) найдите уравнения касательных к графику функции во всех точках, в которых f′(x)=0, и изобразите на отдельном чертеже график функции и найденные касательные;2) найдите уравнения касательных к графику функции во всех точках, в которых f′′(x)=0, и изобразите на отдельном чертеже график функции и найденные касательные;3) найдите уравнение прямой, пересекающей график в точках a=1, b=4, а также касательную к графику функции в точке x=c, удовлетворяющей соотношению теоремы Лагранжа f(b)-f(a)= f′(c)(b-a), и изобразите график функции, прямую и касательную на отдельном чертеже;4) в точке x0=7 получите многочлены Тейлора T0(x), T1(x), T2(x), T3(x), постройте графики исходной функции и многочленов на отдельном чертеже.

  • Индивидуальное задание

    Решение: Задача оптимального выбора потребителя заключается в выборе такого набора товаров (x,y), который максимизирует его функцию полезности u=u(x,y) при заданном бюджетном ограничении, где p,q – рыночные цены одной единицы первого и второго товара соответственно, I – доход потребителя, предназначенный для приобретения первого и второго товара. Математическая постановка задачи оптимального выбора потребителя имеет вид: Или для нашего случая: Известно, что решение задачи находится на линии бюджетного ограничения. Для решения задачи используем метод Лагранжа. Построим функцию Лагранжа, выпишем необходимые условия существования экстремума – систему уравнений, и решим эту систему. Все эти вычисления выполнены в СКМ Maxima. (%o6) t*(13*y+8*x-896)+7*x^(2/3)*(y-7)^(2/5)(%o7) (14*(y-7)^(2/5))/(3*x^(1/3))+8*t(%o8) (14*x^(2/3))/(5*(y-7)^(3/5))+13*t(%o9) [[x=4025/64,y=3143/104,t=-(7^(16/15)*23^(1/15))/(2^(6/5)*3^(3/5)*5^(4/15)*13^(2/5))]](%o10) [4025/64,3143/104,-(7^(16/15)*23^(1/15))/(2^(6/5)*3^(3/5)*5^(4/15)*13^(2/5))](%o11) (7*2415^(2/5)*4025^(2/3))/(16*104^(2/5))(%o12) 62.890625(%o13) 30.22115384615385(%o14) 389.5012288165165Таким образом, максимум функции полезности достигается в точке и максимальное значение функции полезности.График функции полезности (Рисунок 1): Рисунок 1Допустимое множество задачи D представляет собой треугольник ABC в этой плоскости, ограниченный прямыми и бюджетной прямой.Кривая безразличия – это кривая в плоскости Oxy, в каждой точке которой функция полезности принимает одно и то же значение. На допустимом множестве требуется найти точку, принадлежащую кривой безразличия с максимальным уровнем полезности.Известно из экономической теории, что эта точка находится в точке касания линии максимального уровня функции полезности и бюджетной прямой. На рисунке 2 изображены несколько кривых безразличия, допустимое множество D, оптимальная точка и кривая безразличия, которая проходит через эту точку.Рисунок 2

  • пределы, интегралы, производные

    5. П. В. Ягодовский. Математический анализ. Часть 4. Функции нескольких переменных. Учебное пособие для подготовки бакалавров / Под редакцией В. Б. Гисина и Е. Н. Орла. – М.: Финакадемия, 2009. - 116 с. 6. J. Leydold, M. Petry. Introduction to Maxima for Economics. Institute for Statistics and Mathematics, WU Wien, 2011. 7. Маевский Е. В., Ягодовский П. В. Компьютерная математика. Высшая математика в СКМ Maxima. Часть I. Введение. М.: Финансовый университет, 2013. 150 с. http://e-math. ru/maximaПРИЛОЖЕНИЯ(%i32) /*1.  Исследование функции одной переменной Требуется исследовать функцию:*/ f:(x­3)*(log(1+(x­5)^2))/(x­9); /*1. 1 Область определения и асимптоты  Область определения:  (minf,9)U(9,inf)  Проверим, является ли функция четной или нечетной. */ is( f=subst(x=­x,f) ); is( f=subst(x=­x,­f) ); /*Вычисляем пределы на границах области определения:*/ limit(f,x,minf); limit(f,x,9,minus); limit(f,x,9,plus); limit(f,x,inf); /*Вычисляем коэффициенты наклонных асимптот:*/ km:limit(f/x,x,minf); bm:limit(f­km*x,x,minf); kp:limit(f/x,x,inf); bp:limit(f­kp*x,x,inf); /*Получаем наклонную асимптоту при x ­> minf и при x ­> inf*/ y=km*x+bm; y=kp*x+bp; /*1. 2 Производная Вычисляем производную. */ df:diff(f,x); /*Находим нули производной и ее знаменателя. */ solve(df,x),numer; solve(1/df,x); /* Знак производной:*/ ratprint:false$ sdf:signum(df); subst(x=5­1, sdf); subst(x=5+1, sdf); /*1. 3 Вторая производная Вычисляем вторую производную, ее нули и нули ее знаменателя:*/ ddf:diff(df,x); solve(ddf,x),numer; solve(1/ddf,x); /* 1. 4 График*/ wxplot2d( f,[x,­30,30],[y,­30,30]); /*1. 5 Дополнительные построения 1) Касательная в точке экстремума (экстремума нет) 2)Точек перегиба нет*/ /*3) Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа*/ c:find_root(subst(x=8,f)­subst(x=7,f)=subst(x=c,df)*(8­7),c,7,8); wxdraw2d(     dimensions=[600,600],     proportional_axes=xy,     yrange=[­30,30],     grid=true,     xlabel="x",     ylabel="y",     line_width=2,     explicit(f,x,­20,20),     color=magenta,     explicit(subst(x=7,f)+(subst(x=8,f)­subst(x=7,f))/(8­7)*(x­7),x,­15,15),     explicit(subst(x=c,f+df*(t­x)),t,­20,20),     color=green,     point_type=filled_circle,     points([[7,subst(x=7,f)],[8,subst(x=8,f)],[c,subst(x=c,f)]])); /*4) Вычисляем многочлены Тейлора:*/ T0:taylor(f,x,6,0); T1:taylor(f,x,6,1); T2:taylor(f,x,6,2); T3:taylor(f,x,6,3); /*Изображаем график функции и графики полученных выше многочленов*/ wxdraw2d(     dimensions=[600,600],     proportional_axes=xy,     yrange=[­30,30],     grid=true,     xlabel="x",     ylabel="y",     line_width=2,     explicit(f,x,­30,30),     key="n=0",     color="#ff0000",     explicit(T0,x,­30,30),     key="n=1",     color="#cc0000",     explicit(T1,x,­30,30),     key="n=2",     color="#990000",     explicit(T2,x,­30,30),     key="n=3",     color="#660000",     explicit(T3,x,­30,30),     key="",     color=green,     point_type=filled_circle,     points([[6,subst(x=6,f)]])); Created with wxMaxima.

  • РАР, СКМ "Maxima"

    Точки - стационарная, - особые. Определим знаки производной на промежутках, на которые область определения разбивается критическими точками, показаны на рисунке 4. В точке достигается минимум функции. Рисунок 4Приделы производной в особых точках:, ,,. Найдем и исследуем вторую производную. Числитель второй производной не имеет корней. График функции представлен на рисунке 5. Рисунок 5Касательная в точке (Рисунок 6). Рисунок 6Уравнение не имеет корней, принадлежащих области определения Составим уравнение для определения точки, удовлетворяющей теореме Лагранжа, и решим это уравнение. Точка, удовлетворяющая теореме Лагранжа,. Дополнительные построения к пункту 3 изображены на рисунке 7. Рисунок 7В точке получены многочлены Тейлора Графики многочленов Тейлора и данной функции в окрестности точки представлены на рисунке 8. Рисунок 8Задача 8. Фирма планирует реализовать проект. Предварительно проводится анализ проекта, стоимость которого состоит в затратах на специалистов. В проведении анализа участвуют программисты, финансовые аналитики и специалисты по маркетингу, трудовые затраты которых (в человекочасах) равны соответственно x,y,z. Стоимость такого анализа равна (условных денежных единиц). Эффективность работы специалистов равна. Выясните в зависимости от располагаемого бюджета I, какими должны быть трудовые затраты специалистов каждого профиля, чтобы эффективность была максимальна? При каком бюджете I будет достигнут абсолютный максимум функции эффективности? Решение: Задача сводится к нахождению экстремума функции при наличии ограничений: где множество D задается системой ограничений: Плоскость, соответствующая бюджетному ограничению, в пересечении с первым октантом даѐт треугольник. Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции эффективности на этом треугольнике. Будем рассматривать I как параметр. Из уравнения бюджетного ограничения выразим переменную

  • пределы и интегралы

    (%i41) /*Исследовать функцию:*/ f:(x­8)*(y­9); /*1.1. Область*/ eq1:x­y­8; eq2:­2*y­50+x^2+y^2+2*x*y; /*Угловые точки*/ A:solve([eq1,eq2],[x,y]); A1:map(rhs,A[1]); A2:map(rhs,A[2]); wxdraw2d(     dimensions=[600,600],     grid=true,     proportional_axes=xy,     line_width=2,     color=green,     implicit(eq1,x,­25,25,y,­25,25),     implicit(eq2,x,­25,25,y,­25,25),     color=red,     point_type=filled_circle,     points([A1,A2]),     color=black,     label_alignment=left,     label(cons("A1",A1),cons("A2",A2))); /*1.2 Найдем критические точки*/ solve([diff(f,x),diff(f,y)],[x,y]); P:map(rhs,%[1]); /*Условные критические точки на прямолинейном участке*/ solve(eq1,y); Y:%[1]; /* Берем правую часть и подставляем вместо y в исследуемую функцию */ f1:subst(y=rhs(Y),f); /*Вычисляем производную полученной функции и находим ее нули*/ solve(diff(f1,x),x); X:%[1]; /*Получаем точки*/ [X,subst(X,Y)]; N:map(rhs,%); /*Условные критические точки на криволинейном участке Составим уравнение Лагранжа*/ L:f+%lambda*eq2; solve([diff(L,x),diff(L,y)],[x,y]); M:%[1]; subst(M,eq2); l:solve(%,%lambda)$ l:map(rectform,l)$ l:map(trigrat,l)$ float(l); subst(l[1],M)$ M1:map(rhs,%); float(M1); subst(l[2],M)$ M2:map(rhs,%); float(M2); subst(l[3],M)$ M3:map(rhs,%); float(M3); /*Результат*/ wxdraw2d(     dimensions=[600,600],     grid=true,     proportional_axes=xy,     line_width=2,     color=green,     implicit(eq1,x,­25,25,y,­25,25),     implicit(eq2,x,­25,25,y,­25,25),     color=red,     point_type=filled_circle,     points([A1,A2,P,N,M1,M2,M3]),     color=black,     label_alignment=left,     label(cons("A1",A1),cons("A2",A2),cons("P",P),cons("N",N),         cons("M1",M1),cons("M2",M2),cons("M3",M3))); /*Значения функции в найденных точках*/ F:[     subst([x=A1[1],y=A1[2]],f),     subst([x=A2[1],y=A2[2]],f),     subst([x=P[1],y=P[2]],f),     subst([x=N[1],y=N[2]],f),     subst([x=M1[1],y=M1[2]],f),     subst([x=M2[1],y=M2[2]],f),     subst([x=M3[1],y=M3[2]],f) ]; float(F); /*Наибольшее и наименьшее значение*/ Fmin:lmin(float(F)); Fmax:lmax(float(F)); ratprint:false$ wxdraw2d(     dimensions=[600,600],     grid=true,     proportional_axes=xy,     line_width=2,     color=green,     implicit(eq1,x,­25,25,y,­25,25),     implicit(eq2,x,­25,25,y,­25,25),     color=red,     point_type=filled_circle,     points([A1,A2,N,M1,M2,M3]),     color=black,     label_alignment=left,     label(cons("A1",A1),cons("A2",A2),cons("P",P),cons("N",N),         cons("M1",M1),cons("M2",M2),cons("M3",M3)),     color=dark_blue,     implicit(f=F[1],x,­25,25,y,­25,25),     implicit(f=F[2],x,­25,25,y,­25,25),     implicit(f=F[3],x,­25,25,y,­25,25),     implicit(f=F[4],x,­25,25,y,­25,25),     implicit(f=F[5],x,­25,25,y,­25,25),     implicit(f=F[6],x,­25,25,y,­25,25),     implicit(f=F[7],x,­25,25,y,­25,25)); Created with wxMaxima.

×
Оформите заявку на работу - это бесплатно