Информация о работе:
Дисциплина: Математический анализ
Тип работы: Лабораторные работы

Индивидуальное задание

Фрагмент текста
Решение: Задача оптимального выбора потребителя заключается в выборе такого набора товаров (x,y), который максимизирует его функцию полезности u=u(x,y) при заданном бюджетном ограничении, где p,q – рыночные цены одной единицы первого и второго товара соответственно, I – доход потребителя, предназначенный для приобретения первого и второго товара. Математическая постановка задачи оптимального выбора потребителя имеет вид: Или для нашего случая: Известно, что решение задачи находится на линии бюджетного ограничения. Для решения задачи используем метод Лагранжа. Построим функцию Лагранжа, выпишем необходимые условия существования экстремума – систему уравнений, и решим эту систему. Все эти вычисления выполнены в СКМ Maxima. (%o6) t*(13*y+8*x-896)+7*x^(2/3)*(y-7)^(2/5)(%o7) (14*(y-7)^(2/5))/(3*x^(1/3))+8*t(%o8) (14*x^(2/3))/(5*(y-7)^(3/5))+13*t(%o9) [[x=4025/64,y=3143/104,t=-(7^(16/15)*23^(1/15))/(2^(6/5)*3^(3/5)*5^(4/15)*13^(2/5))]](%o10) [4025/64,3143/104,-(7^(16/15)*23^(1/15))/(2^(6/5)*3^(3/5)*5^(4/15)*13^(2/5))](%o11) (7*2415^(2/5)*4025^(2/3))/(16*104^(2/5))(%o12) 62.890625(%o13) 30.22115384615385(%o14) 389.5012288165165Таким образом, максимум функции полезности достигается в точке и максимальное значение функции полезности.График функции полезности (Рисунок 1): Рисунок 1Допустимое множество задачи D представляет собой треугольник ABC в этой плоскости, ограниченный прямыми и бюджетной прямой.Кривая безразличия – это кривая в плоскости Oxy, в каждой точке которой функция полезности принимает одно и то же значение. На допустимом множестве требуется найти точку, принадлежащую кривой безразличия с максимальным уровнем полезности.Известно из экономической теории, что эта точка находится в точке касания линии максимального уровня функции полезности и бюджетной прямой. На рисунке 2 изображены несколько кривых безразличия, допустимое множество D, оптимальная точка и кривая безразличия, которая проходит через эту точку.Рисунок 2
Показать еще
Эту работу защитили на 5
Похожие работы:
  • Расчетно-Аналитическая работа

    Таким образом, потребление второго товара увеличится (уменьшится) на 1.2 единицы при уменьшении (увеличении) потребления первого товара на единицу без изменения уровня функции полезности 43109.89 в оптимальной точке.Функция спроса. Функция спроса x=x(p, q, I), y=y(p, q, I) получают из системы уравненийЕсли положим q=5, I=1768, то получим функцию спроса для первого товара: Таким образом, x= 6153/(8*P). График функции спроса для первого товара изображен на рис. 6.3.Рис. 6.3.Эластичность для первого товара по цене вычисляется по формуле:.Для поставленной задачи получено в СКМ Maxima: Эластичность спроса первого товара по цене показывает, что спрос на этот товар уменьшится на 1%, если цена увеличится (уменьшится) на 1%.Ответ. Максимальная полезность д.е. достигается при наборе товаров (128.18;199.77), уравнение кривой безразличия, проходящей через оптимальную точку, Норма замены второго товара первым в оптимальной точке MRS=1.2, функция спроса для первого товара: = 6153/(8*P), эластичность спроса по цене на первый товар: E(x)= -1.0.Задание 7. Исследование функции одной переменной. Проведите полное исследование функции и постройте её график. Выполните дополнительные задания:1) найдите уравнения касательных к графику функции во всех точках, в которых f′(x)=0, и изобразите на отдельном чертеже график функции и найденные касательные;2) найдите уравнения касательных к графику функции во всех точках, в которых f′′(x)=0, и изобразите на отдельном чертеже график функции и найденные касательные;3) найдите уравнение прямой, пересекающей график в точках a=1, b=4, а также касательную к графику функции в точке x=c, удовлетворяющей соотношению теоремы Лагранжа f(b)-f(a)= f′(c)(b-a), и изобразите график функции, прямую и касательную на отдельном чертеже;4) в точке x0=7 получите многочлены Тейлора T0(x), T1(x), T2(x), T3(x), постройте графики исходной функции и многочленов на отдельном чертеже.

  • Расчетно-аналитическая работа в программе WXMaxima

    Рисунок 3Эластичность спроса первого товара по цене вычисляется по формуле: Для поставленной задачи получено в СКМ Maxima:(%o35) -2828/(5*P^2)(%o36) -1Эластичность спроса по цене ED= -1.Эластичность спроса первого товара по цене показывает, что спрос на этот товар уменьшится (увеличится) на 1% если цена увеличится (уменьшится) на 1%.Ответ: Максимальная полезность достигается на наборе товаров, уравнение кривой безразличия, проходящей через оптимальную точку:, Норма замены второго товара первым в оптимальной точке:, функция спроса для первого товара:, эластичность спроса по цене на первый товар: E(x)= -1.Задача 7. Проведите полное исследование функции и постройте ее график. Выполните дополнительные задания: Найдите уравнения касательных к графику функции во всех точках, в которых, и изобразите на отдельном чертеже график функции и найденные касательные; Найдите уравнения касательных к графику функции во всех точках, в которых, и изобразите на отдельном чертеже график функции и найденные касательные; Найдите уравнение прямой, пересекающей график в точках, а также уравнение касательной к графику функции в точке, где - точка, удовлетворяющая соотношению теоремы Лагранжа, и изобразите график функции, прямую и касательную на одном чертеже; В точке получите многочлены Тейлора и постройте графики исходной функции и многочленов на отдельном чертеже.Решение: Область определения функции:.Функция не является ни четной, ни нечетной.Вычисляем пределы функции на границы области определения:, ,,.Вертикальная асимптота - двухсторонняя.Горизонтальных асимптот нет.Находим производную функции. Находим критические точки функции: Точки - стационарные, - особая.Определим знаки производной на промежутках, на которые область определения разбивается критическими точками, показаны на рисунке 4. В точке достигается минимум функции.

  • пределы и интегралы

    (%i41) /*Исследовать функцию:*/ f:(x­8)*(y­9); /*1.1. Область*/ eq1:x­y­8; eq2:­2*y­50+x^2+y^2+2*x*y; /*Угловые точки*/ A:solve([eq1,eq2],[x,y]); A1:map(rhs,A[1]); A2:map(rhs,A[2]); wxdraw2d(     dimensions=[600,600],     grid=true,     proportional_axes=xy,     line_width=2,     color=green,     implicit(eq1,x,­25,25,y,­25,25),     implicit(eq2,x,­25,25,y,­25,25),     color=red,     point_type=filled_circle,     points([A1,A2]),     color=black,     label_alignment=left,     label(cons("A1",A1),cons("A2",A2))); /*1.2 Найдем критические точки*/ solve([diff(f,x),diff(f,y)],[x,y]); P:map(rhs,%[1]); /*Условные критические точки на прямолинейном участке*/ solve(eq1,y); Y:%[1]; /* Берем правую часть и подставляем вместо y в исследуемую функцию */ f1:subst(y=rhs(Y),f); /*Вычисляем производную полученной функции и находим ее нули*/ solve(diff(f1,x),x); X:%[1]; /*Получаем точки*/ [X,subst(X,Y)]; N:map(rhs,%); /*Условные критические точки на криволинейном участке Составим уравнение Лагранжа*/ L:f+%lambda*eq2; solve([diff(L,x),diff(L,y)],[x,y]); M:%[1]; subst(M,eq2); l:solve(%,%lambda)$ l:map(rectform,l)$ l:map(trigrat,l)$ float(l); subst(l[1],M)$ M1:map(rhs,%); float(M1); subst(l[2],M)$ M2:map(rhs,%); float(M2); subst(l[3],M)$ M3:map(rhs,%); float(M3); /*Результат*/ wxdraw2d(     dimensions=[600,600],     grid=true,     proportional_axes=xy,     line_width=2,     color=green,     implicit(eq1,x,­25,25,y,­25,25),     implicit(eq2,x,­25,25,y,­25,25),     color=red,     point_type=filled_circle,     points([A1,A2,P,N,M1,M2,M3]),     color=black,     label_alignment=left,     label(cons("A1",A1),cons("A2",A2),cons("P",P),cons("N",N),         cons("M1",M1),cons("M2",M2),cons("M3",M3))); /*Значения функции в найденных точках*/ F:[     subst([x=A1[1],y=A1[2]],f),     subst([x=A2[1],y=A2[2]],f),     subst([x=P[1],y=P[2]],f),     subst([x=N[1],y=N[2]],f),     subst([x=M1[1],y=M1[2]],f),     subst([x=M2[1],y=M2[2]],f),     subst([x=M3[1],y=M3[2]],f) ]; float(F); /*Наибольшее и наименьшее значение*/ Fmin:lmin(float(F)); Fmax:lmax(float(F)); ratprint:false$ wxdraw2d(     dimensions=[600,600],     grid=true,     proportional_axes=xy,     line_width=2,     color=green,     implicit(eq1,x,­25,25,y,­25,25),     implicit(eq2,x,­25,25,y,­25,25),     color=red,     point_type=filled_circle,     points([A1,A2,N,M1,M2,M3]),     color=black,     label_alignment=left,     label(cons("A1",A1),cons("A2",A2),cons("P",P),cons("N",N),         cons("M1",M1),cons("M2",M2),cons("M3",M3)),     color=dark_blue,     implicit(f=F[1],x,­25,25,y,­25,25),     implicit(f=F[2],x,­25,25,y,­25,25),     implicit(f=F[3],x,­25,25,y,­25,25),     implicit(f=F[4],x,­25,25,y,­25,25),     implicit(f=F[5],x,­25,25,y,­25,25),     implicit(f=F[6],x,­25,25,y,­25,25),     implicit(f=F[7],x,­25,25,y,­25,25)); Created with wxMaxima.

  • Математические методы исследования

    , все они обслуживаются, иначе 6 обслуживаются остальные в очереди. Максимальное определяется разве что продолжительностью дня, но оно нам не важно, ведь для больших соответствующие вероятности состояния системы будут пренебрежимо малы (ведь у нас система стационарна, как выяснили выше).1) Граф состояний СМО:2) составляем уравнения Колмогорова для финальных вероятностей этих состояний соответственно (система бесконечна); 3) Решаем полученную систему:;;; ;;; В дальнейшем вероятности будут умножаться на; Подставляем в последнее равенство:;;. Подставляем, получаем финальные вероятности:(и так далее, каждая следующая вероятность начиная с 7 равна предыдущей, умноженной на )4Если система в одном из состояний, То время ожидания равно нулю. Если в состоянии, то среднее время ожидания. Общее среднее время ожидания в очереди:(минут)5Средняя длина очереди (чел)6Для 7 каналов обслуживания средняя длина очереди. То есть, наших 7 каналов достаточно. Пусть теперь их 6. Находим среднюю длину очереди для: Для вероятности имеем: финальные вероятности: ,(расчеты там же)Средняя длина очереди: Значит, 6 каналов недостаточноОтвет: минимальное требуемое число каналов равно 7… 7Покажем, что 6 каналов (и менее) не достаточно. Финальные вероятности выше найдены для. Требуемая вероятность.И так, 6 каналов обслуживания мало. Для 7 каналов (вероятности еще выше выписаны) имеем. То есть 7 каналов достаточно.Ответ: минимальное требуемое число каналов равно 7.8.Для 7 каналов получили среднее время ожидания в очереди. Значит, 7 каналов достаточно для 6 каналов выше нашли средняя длина очереди и то 32,4 человека, а время в 5 раз большеОтвет: минимальное требуемое число каналов равно 7.9.Требуемое условие равносильно тому, что длина очереди не более чел с вероятностью не менее 0,9Оценим требуемую вероятность для 7 каналов.Значит, 7 каналов достаточно.

  • Математическое исследование

    против альтернативы. На основе критерия -Пирсона. Вычисляем для концов интервалов значения величин. Находим теоретические относительные частоты для каждого из интервалов. Для первого,; для внутренних интервалов имеем;.Для последнего.Напомним, что - функции распределения стандартной нормальной случайной величины. Её численные значения находим в таблицах.Получаем: Считаем наблюденное значение статистики критерия.Критическое значение находи как по таблице как квантиль распределения с числом степеней свободы (на 1 меньше числа интервалов) уровня.Или в некоторых таблицах сразу даны критические значения по и… В нашем случае. Нулевую гипотезу о нормально распределении выборки нет причин отвергать.4)Считаем данным, что элементы выборки независимы, имеют одинаковое нормальное распределение.Строим доверительный интервал для среднего, при неизвестной дисперсии.Симметричный, с доверительной вероятностью.Для этого используем центральную функцию, где - вычисленные в пункте 2 несмещенные оценки для среднего и дисперсии, - оцениваемый параметр среднего. Она имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Потому.Где - процентная точка распределения Стьюдента с 99 степенями свободы уровня. По таблицам находим. ;;; Получаем интервал для среднего: с вероятностью.Строим доверительный интервал для дисперсии при неизвестном среднем. Симметричный по вероятности. Для этого используем центральную функцию. Она имеет распределение с степенями свободы. Значит с вероятностью, где ;.И значит с вероятностью. По таблицам находим ;;;.Получаем доверительный интервал для дисперсии: c вероятностью.Задание 2. Имеются следующие данные о сменной добычи угля на одного рабочего (Т) и мощности пласта (м), характеризующие процесс добычи угля в 10 шахтах (см. таблицу).Таблица Выполните следующие задания:1) Вычислить оценку коэффициента корреляции .2) Проверить на уровне значимости гипотезу о незначимой корреляции между и (основная гипотеза ).

×
Оформите заявку на работу - это бесплатно