Информация о работе:
Дисциплина: Математика
Тип работы: Контрольная

Ряд заданий по дифференциальному и интегральному исчислению функций одной переменной

Фрагмент текста
Дифференциальное исчисление функции одной переменной.Задание 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.Решение.а) Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида. Разделим числитель и знаменатель данной дробно-рациональной функции на (на x в наивысшей степени). Тогда используя свойства пределов, получимОтвет:.б) Здесь мы имеем с неопределенностью вида. Умножим числитель и знаменатель на точно такие же выражения, стоящие в числителе и знаменателе, но со знаком плюс между слагаемыми: Ответ: 1,5.в) Здесь мы имеем с неопределенностью вида. Умножим числитель и знаменатель на точно такое же выражение, стоящее в знаменателе, но со знаком плюс между слагаемыми. Одновременно преобразуем числитель по формуле. Получим: На заключительном этапе воспользовались первым замечательным пределом: Ответ: г) Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида. Сделаем замену: ПолучимПреобразуем полученный интеграл следующим образомПредел выражения в квадратных скобках, в соответствии со вторым замечательным пределом, равенВ результате получаемОтвет:.Задание 2. Найти производные явно заданных функций.Решение.Ответ: Ответ: Ответ: г) При вычислении производной данной функции, прологарифмируем исходное выражение: ТогдаОтсюдаОтвет: Задание 3. Найти производные неявно заданных функций, и функций, заданных параметрически.Решение.а) Функция задана неявно. Дифференцируем по x обе части равенства, где y есть функция от xОткуда находимОтвет: б) Функция задана параметрически. Используя формулупоследовательно находимТогдаОтвет: Задание 4. Для данной функции указать область определения, асимптоты, промежутки возрастания и убывания, максимумы и минимумы, направления выпуклости, перегибы. Построить график функции.Решение.1) Область определения функции2) Функция имеет одну точку пересечения с осями:.
Показать еще
Эту работу защитили на 5
Похожие работы:
  • Математика

    В заданиях 1-10 найти интегралы.5. а) Раскладываем подынтегральную дробь на простейшие методом неопределенных коэффициентовПриводим подобные и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях;;;; Получаем: б) в) Проинтегрировали по частям, взяв г)д) сделаем замену Раскладываем подынтегральную дробь на простейшиеПриводим подобные и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях;. Подставляем в наш интеграле) Сделаем замену;; ж) Сделаем замену;; Новые пределы интегрирования от до; з) Разложим произведение в сумму.;. Подставляем в интегралВ заданиях 11-20 вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.15. Решение: Докажем, что интеграл расходится. Для этого достаточно доказать расходимость интеграла 2 рода. Воспользуемся признаком сравнения в силу второго замечательного предела.Интеграл как известно расходится, значит, расходится и наш интегралВ заданиях 21-30 вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.25. Решение: Изобразим эту фигуру: Находим точки пересечения; Искомая площадь: В заданиях 31-40 вычислить длину дуги, заданной уравнением35.; Решение:;; По формуле длины дуги получаем: В заданиях 41-50 исследовать функцию на экстремум.45. Решение: Находим критические точки; - Единственная критическая точка. Ясно, что в этой точке абсолютный максимум. Действительно: неполный квадрат неотрицателен всюду и равен нулю только если оба числа нули. Потому, причем равенство выполнено только в этой точке.Других критических точек нет, а значит нет больше и экстремумов. В заданиях 51-60 найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линией.55. Решение: Без ограничения общности считаем, что. При случай отрицательного полностью аналогичен, фигура будет отраженной относительно оси абсцисс по сравнению с тем же по модулю положительным, а значит и центр тяжести тоже.

  • Исправления

    Таблица 1.Результаты выполнения заданий (кол-во баллов)По результатам таблицы 1 можно сделать выводы об уровне развития математических способностей у обследованных детей с нарушением интеллекта:- высокий уровень выявлен у 1 ребенка (10%) – (Антон И. – 13 баллов);- средний уровень выявлен у 9 детей (90%) (Лена К., Маша Г., Леша Б… – 11 баллов; Катя С. – 10 баллов; Ваня Л., Сережа Н. – 8 баллов; Ира Б., Оля П… – 7 баллов; Костя В. – 6 баллов);- низкий уровень не выявлен ни у одного ребенка.Отобразим полученные данные на диаграмме 6.Диаграмма 6Уровень развития математических способностей у детей с нарушением интеллектаПроведенный анализ показал, что для детей основные сложности вызывали задания на умение выделять «один» и «много» из группы однородных предметов (40% детей); умение сравнивать предметы по размеру (30% детей).Так, при выполнении задания на умение выделять «один» и «много» из группы однородных предметов 4 ребенка (40%) смогли усвоить менее 6 числовых карточек, в то время, как более 8 числовых карточек усвоил лишь 1 ребенок.При выполнении задания на умение сравнивать предметы по размеру, 3 детей (30%) смогли различить лишь 1 – 2 предмета и только 2 ребенка (20%) смогли различить все 4 предмета.Выводы по II главеТаким образом, по результатам констатирующего этапа исследования были получены результаты об уровне развития математических представлений и математических способностей у детей с нарушением интеллекта.Было установлено, что только у 1 ребенка (10%) выявлен высокий уровень математических представлений и способностей, у остальных детей был выявлен средний уровень. Низкий уровень не отмечен ни у одного дошкольника с нарушением интеллекта.Основные сложности у детей вызывали задания на умение выделять «один» и «много» из группы однородных предметов (40% детей); умение сравнивать предметы по размеру (30% детей).На основании полученных данных было принято решение о проведении коррекционно-педагогической работы у умственно отсталых дошкольников при подготовке к школе.

  • Работа по математике

    Найдем производную функции и приравняем ее к нулю: y /  x  ln x   1  / 1 1 0 x  1 x 1 1 x  x 1 Проверим знак производной на полученных промежутках: Так как в точке х = 1 первая производная меняет свой знак с «-» на «+», то в этой точке имеется экстремум – минимум. Задача 8. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y х4 1  х 3 Решение. 1. Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, т. е. 1  х 3  0  1 х  0  x  1 Следовательно, область определения функции  ; 1  1;  . Получили вертикальную асимптоту х = –1. 2. Проверим на четность/нечетность f ( x)  ( х) 4 x4 x4     f ( x)   f ( x) 1  ( x)3 1  x 3 x  13 Функция не является ни четной, ни нечетной. 3. Найдем точки пересечения с осями Ось ОХ: х4 0 1  х 3  х4  0  x0 Точка пересечения с осью ОХ: 0; 0. Ось ОУ: y 04 0  0 3 1  0 1 Точка пересечения с осью ОУ: 0; 0. 4. Найдем асимптоты графика: Уравнение асимптот будем искать в виде: у  kx  b, где х4 х3 3 3 f ( x) 1 1 1  х   lim х  lim x3 k  lim  lim  lim   3 3 3 3 х  х  х   1  х  х  х  x x 1 х 1  1       1   1  x x x    1 1 1     0   1 3 1   0  1 3  х4  x 4  x1  х   b  lim  f ( x)  k  x   lim   1  x  lim   х  х  х   1  х 3 1  х 3   используем формулу  x 4  x 1  3x  3x 2  x3   lim  3 3 2 2 3 х  1  3x  3x 2  x3 a  b   a  3a b  3ab  b  x 3x 2 3x3  3 3  3 x 4  x  3x 2  3x3  x 4  x  3x 2  3x3 x x x  lim  lim  lim  2 2 3 2 3 х  х   х   1 3 x 3 x x3 1  3x  3x  x 1  3x  3x  x   3  3 x3 x3 x x 1 3 1 3 1 3  2  3  2  3   3  0  3 0  3 1  x x      lim      0   х  1 3 3 1 3 3 1 3 3   0  3 0  3 0 1    1    1    1 x3 x 2 x 3  2     3   3 1   Таким образом, получили уравнение наклонной асимптоты y  kx  b  1 х  (3)  x  3 5. Найдем точки экстремумов Для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю     3 3 3 2  х4  х 4 1  х   х 4  1  х  4 x 3 1  х   x 4  31  x  1   у     3  2 1  х 6 1  х 3  1  х   / /  1  x   2 /   / 4 x 1  х   3x 4 x  4 x 4  3x 4 4 x3  x 4   1  х 6 1  х 4 1  х 4 4 x3  x 4 0 1  х 4 3 4  3 4 x3  x 4  0  x 3 4  x   0  x1  0, x2  4 Проверим знак производной на полученных промежутках. Получили: – так как на промежутках (-∞; -4) и (0; +∞) первая производная положительная, то график функции возрастает на этих промежутках; – так как на промежутках (-4; -1) и (-1; 0) первая производная отрицательная, то график функции убывает на этих промежутках; – так как в точке х = -4 производная меняет свой знак с «+» на «-», то в этой точке имеется экстремум – максимум; – так как в точке х = 0 производная меняет свой знак с «-» на «+», то в этой точке имеется экстремум – минимум. 6. Выпуклость и точки перегиба Найдем вторую производную и приравняем ее к нулю     4 4  4 x3  x 4  4 x 3  x 4  1  х   4 x 3  x 4  1  х    y   4  2 1  х 4  1  х   / // 12 х   2  /       /     2 3 3 4  4 х 3  1  х   4 x 3  x 4  41  х  1 3 12 х  4 х  1  х   4 4 x  x    1  х   1  х 8 1  х 8 4 3 12 х 2  4 х 3  12 х 3  4 х 4  16 х 3  4 х 4 12 х 2  1  х 5 1  х 5 12 х 2 0 1  х 5  12 х 2  0  х2  0  х0 Проверим знак второй производной на полученных промежутках.

  • Дифференциальное исчисление

    Непрерывно дифференцируемая функция на отрезке достигает на нём наибольшего и наименьшего значений либо в одном из концов, либо в нуле производной, либо в точке, где производная не определена.Находим производную… Ноль производной и при производная не определена, как и сама функция. На рассматриваемом отрезке одна критическая точка .;;. Выбираем наибольшее и наименьшее из этих значений.Ответ: минимум равен в точке; максимум равен 1 в точке 13.Дана функция.Найдите её наибольшее и наименьшее значение на замкнутом множестве, ограниченном прямыми.Решение: Непрерывно дифференцируемая функция на замкнутом ограниченном множестве принимает наибольшее и наименьшее значение на нём либо на границе, либо в критической точке (точке, где частные производные по всем переменным равны нулю).Считаем частные производные.;; Находим критические точки.; Если получаем;; - критические точки.Если, получим; - тоже критическая точка.Эти 3 критические точки принадлежат границе множества и рассматривать их будем вместе с границей.Пусть теперь. Тогда поделим первое равенство на, а второе на .;;;;;; Получили еще критическую точку внутри рассматриваемого множества.На вертикальной и горизонтальной границе множества имеем или. В обоих случаях. Рассмотри наклонную границу… Для этой границы получаемТаким образом, всюду на границе значение функции равно нулю.Находим значение функции в единственной внутренней критической точке… Ответ: максимум равен в точке. Минимум равен в каждой точки границы.14. Проведите полное исследование и постройте график функции и начертите её график.Решение: Область определения:.При функция стремится к (так как второе слагаемое по модулю быстрее первого); При функция стремится к. Вертикальная асимптота.Функция нечетная.При функция стремится к нулю, горизонтальная асимптота.Находим нули функции. Нули функции.

  • Вычислительная математика

    26. 3-15. 52. 88. 3-6. 65. 812. 2-4. 76. 4-8. 3-4. 38. 87. 717. 1-8. 314. 4-7. 213. 513. 7371. 658-4. 0790. 7370-37. 616-7. 96146. 055-10. 8160-32. 216-14. 91134. 9052. 9840-72. 2-13. 9562. 550. 910. 212-1. 2240. 2880-8. 093-4. 53812. 24701. 329-25. 84921. 66010. 561-1. 5130-26. 59423. 6721-0. 890Обратный ход1-0. 8901-1. 0141-0. 58810. 984Проверка1 уравнение2. 82 уравнение-4. 73 уравнение7. 74 уравнение13. 5Численное нахождение производнойXYY'5. 648-29. 663293025-9. 9705. 649-29. 6732634912-9. 9735. 65-29. 6832369745-9. 9775. 651-29. 6932134789-9. 9805. 652-29. 7031930086-5. 255Численное нахождение производной 2-го порядкаXYY'Y''0. 462-0. 0371982441-0. 7130. 463-0. 0379108576-0. 7120. 8940. 464-0. 0386225772-0. 7110. 8950. 465-0. 0393334017-0. 7100. 8960. 466-0. 0400433299-0. 086623. 998Приближенное интегрирование функцииa=0. 2b=1. 2h=0. 01ОтрезкиПлощадьпрямоугольника0. 20. 0101986927Значение интеграла1. 27126875160. 210. 01021891410. 220. 01024009370. 230. 01026222770. 240. 0102853120. 250. 01030934270. 260. 01033431530. 270. 01036022570. 280. 01038706920. 290. 01041484140. 30. 01044353750. 310. 01047315270. 320. 01050368220. 330. 0105351210. 340. 0105674640. 350. 0106007060. 360. 0106348420. 370. 01066986650. 380. 01070577430. 390. 01074255990. 40. 01078021790. 410. 01081874280. 420. 0108581290. 430. 0108983710. 440. 01093946310. 450. 01098139970. 460. 0110241750. 470. 01106778350. 480. 01111221930. 490. 01115747690. 50. 01120355030. 510. 01125043390. 520. 0112981220. 530. 01134660870. 540. 01139588850. 550. 01144595550. 560. 0114968040. 570. 01154842830. 580. 01160082280. 590. 01165398180. 60. 01170789960. 610. 01176257070. 620. 01181798950. 630. 01187415030. 640. 01193104780. 650. 01198867630. 660. 01204703050. 670. 0121061050. 680. 01216589430. 690. 01222639320. 70. 01228759640. 710. 01234949850. 720. 01241209450. 730. 01247537910. 740. 01253934740. 750. 01260399410. 760. 01266931430. 770. 01273530310. 780. 01280195550. 790. 01286926670. 80. 01293723190. 810. 01300584630. 820. 01307510530. 830. 01314500420. 840. 01321553840. 850. 01328670330. 860. 01335849460. 870. 01343090770. 880. 01350393830. 890. 0135775820. 90. 01365183470. 910. 0137266920. 920. 01380214990. 930. 01387820420. 940. 01395485090. 950. 01403208590. 960.

×
Оформите заявку на работу - это бесплатно