Информация о работе:
Дисциплина: Математический анализ
Тип работы: Контрольная

Математический анализ

Фрагмент текста
Показать еще
Эту работу защитили на 5
Похожие работы:
  • пределы, интегралы, производные

    5. П. В. Ягодовский. Математический анализ. Часть 4. Функции нескольких переменных. Учебное пособие для подготовки бакалавров / Под редакцией В. Б. Гисина и Е. Н. Орла. – М.: Финакадемия, 2009. - 116 с. 6. J. Leydold, M. Petry. Introduction to Maxima for Economics. Institute for Statistics and Mathematics, WU Wien, 2011. 7. Маевский Е. В., Ягодовский П. В. Компьютерная математика. Высшая математика в СКМ Maxima. Часть I. Введение. М.: Финансовый университет, 2013. 150 с. http://e-math. ru/maximaПРИЛОЖЕНИЯ(%i32) /*1.  Исследование функции одной переменной Требуется исследовать функцию:*/ f:(x­3)*(log(1+(x­5)^2))/(x­9); /*1. 1 Область определения и асимптоты  Область определения:  (minf,9)U(9,inf)  Проверим, является ли функция четной или нечетной. */ is( f=subst(x=­x,f) ); is( f=subst(x=­x,­f) ); /*Вычисляем пределы на границах области определения:*/ limit(f,x,minf); limit(f,x,9,minus); limit(f,x,9,plus); limit(f,x,inf); /*Вычисляем коэффициенты наклонных асимптот:*/ km:limit(f/x,x,minf); bm:limit(f­km*x,x,minf); kp:limit(f/x,x,inf); bp:limit(f­kp*x,x,inf); /*Получаем наклонную асимптоту при x ­> minf и при x ­> inf*/ y=km*x+bm; y=kp*x+bp; /*1. 2 Производная Вычисляем производную. */ df:diff(f,x); /*Находим нули производной и ее знаменателя. */ solve(df,x),numer; solve(1/df,x); /* Знак производной:*/ ratprint:false$ sdf:signum(df); subst(x=5­1, sdf); subst(x=5+1, sdf); /*1. 3 Вторая производная Вычисляем вторую производную, ее нули и нули ее знаменателя:*/ ddf:diff(df,x); solve(ddf,x),numer; solve(1/ddf,x); /* 1. 4 График*/ wxplot2d( f,[x,­30,30],[y,­30,30]); /*1. 5 Дополнительные построения 1) Касательная в точке экстремума (экстремума нет) 2)Точек перегиба нет*/ /*3) Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа*/ c:find_root(subst(x=8,f)­subst(x=7,f)=subst(x=c,df)*(8­7),c,7,8); wxdraw2d(     dimensions=[600,600],     proportional_axes=xy,     yrange=[­30,30],     grid=true,     xlabel="x",     ylabel="y",     line_width=2,     explicit(f,x,­20,20),     color=magenta,     explicit(subst(x=7,f)+(subst(x=8,f)­subst(x=7,f))/(8­7)*(x­7),x,­15,15),     explicit(subst(x=c,f+df*(t­x)),t,­20,20),     color=green,     point_type=filled_circle,     points([[7,subst(x=7,f)],[8,subst(x=8,f)],[c,subst(x=c,f)]])); /*4) Вычисляем многочлены Тейлора:*/ T0:taylor(f,x,6,0); T1:taylor(f,x,6,1); T2:taylor(f,x,6,2); T3:taylor(f,x,6,3); /*Изображаем график функции и графики полученных выше многочленов*/ wxdraw2d(     dimensions=[600,600],     proportional_axes=xy,     yrange=[­30,30],     grid=true,     xlabel="x",     ylabel="y",     line_width=2,     explicit(f,x,­30,30),     key="n=0",     color="#ff0000",     explicit(T0,x,­30,30),     key="n=1",     color="#cc0000",     explicit(T1,x,­30,30),     key="n=2",     color="#990000",     explicit(T2,x,­30,30),     key="n=3",     color="#660000",     explicit(T3,x,­30,30),     key="",     color=green,     point_type=filled_circle,     points([[6,subst(x=6,f)]])); Created with wxMaxima.

  • РАР, СКМ "Maxima"

    Точки - стационарная, - особые. Определим знаки производной на промежутках, на которые область определения разбивается критическими точками, показаны на рисунке 4. В точке достигается минимум функции. Рисунок 4Приделы производной в особых точках:, ,,. Найдем и исследуем вторую производную. Числитель второй производной не имеет корней. График функции представлен на рисунке 5. Рисунок 5Касательная в точке (Рисунок 6). Рисунок 6Уравнение не имеет корней, принадлежащих области определения Составим уравнение для определения точки, удовлетворяющей теореме Лагранжа, и решим это уравнение. Точка, удовлетворяющая теореме Лагранжа,. Дополнительные построения к пункту 3 изображены на рисунке 7. Рисунок 7В точке получены многочлены Тейлора Графики многочленов Тейлора и данной функции в окрестности точки представлены на рисунке 8. Рисунок 8Задача 8. Фирма планирует реализовать проект. Предварительно проводится анализ проекта, стоимость которого состоит в затратах на специалистов. В проведении анализа участвуют программисты, финансовые аналитики и специалисты по маркетингу, трудовые затраты которых (в человекочасах) равны соответственно x,y,z. Стоимость такого анализа равна (условных денежных единиц). Эффективность работы специалистов равна. Выясните в зависимости от располагаемого бюджета I, какими должны быть трудовые затраты специалистов каждого профиля, чтобы эффективность была максимальна? При каком бюджете I будет достигнут абсолютный максимум функции эффективности? Решение: Задача сводится к нахождению экстремума функции при наличии ограничений: где множество D задается системой ограничений: Плоскость, соответствующая бюджетному ограничению, в пересечении с первым октантом даѐт треугольник. Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции эффективности на этом треугольнике. Будем рассматривать I как параметр. Из уравнения бюджетного ограничения выразим переменную

  • СКМ Maxima

    6. J. Leydold, M. Petry. Introduction to Maxima for Economics. Institute for Statistics and Mathematics, WU Wien, 2011. 7. Маевский Е. В., Ягодовский П. В. Компьютерная математика. Высшая математика в СКМ Maxima. Часть I. Введение. М.: Финансовый университет, 2013. 150 с. http://e-math. ru/maximaПРИЛОЖЕНИЯ(%i41) /*Исследовать функцию:*/ f:(x+2)*(y­4); /*1. 1.  Область*/ eq1:x+y­2; eq2:7*x­9*y+2+x^2+y^2­2*x*y; /*Угловые точки*/ A:solve([eq1,eq2],[x,y]); A1:map(rhs,A[1]); A2:map(rhs,A[2]); wxdraw2d(     dimensions=[600,600],     grid=true,     proportional_axes=xy,     line_width=2,     color=green,     implicit(eq1,x,­25,25,y,­25,25),     implicit(eq2,x,­25,25,y,­25,25),     color=red,     point_type=filled_circle,     points([A1,A2]),     color=black,     label_alignment=left,     label(cons("A1",A1),cons("A2",A2))); /*1. 2 Найдем критические точки*/ solve([diff(f,x),diff(f,y)],[x,y]); P:map(rhs,%[1]); /*Условные критические точки на прямолинейном участке*/ solve(eq1,y); Y:%[1]; /* Берем правую часть и подставляем вместо y в исследуемую функцию */ f1:subst(y=rhs(Y),f); /*Вычисляем производную полученной функции и находим ее нули*/ solve(diff(f1,x),x); X:%[1]; /*Получаем точки*/ [X,subst(X,Y)]; N:map(rhs,%); /*Условные критические точки на криволинейном участке Составим уравнение Лагранжа*/ L:f+%lambda*eq2; solve([diff(L,x),diff(L,y)],[x,y]); M:%[1]; subst(M,eq2); l:solve(%,%lambda)$ l:map(rectform,l)$ l:map(trigrat,l)$ float(l); subst(l[1],M)$ M1:map(rhs,%); float(M1); subst(l[2],M)$ M2:map(rhs,%); float(M2); subst(l[3],M)$ M3:map(rhs,%); float(M3); /*Результат*/ wxdraw2d(     dimensions=[600,600],     grid=true,     proportional_axes=xy,     line_width=2,     color=green,     implicit(eq1,x,­25,25,y,­25,25),     implicit(eq2,x,­25,25,y,­25,25),     color=red,     point_type=filled_circle,     points([A1,A2,P,N,M1,M2,M3]),     color=black,     label_alignment=left,     label(cons("A1",A1),cons("A2",A2),cons("P",P),cons("N",N),         cons("M1",M1),cons("M2",M2),cons("M3",M3))); /*Значения функции в найденных точках*/ F:[     subst([x=A1[1],y=A1[2]],f),     subst([x=A2[1],y=A2[2]],f),     subst([x=P[1],y=P[2]],f),     subst([x=N[1],y=N[2]],f),     subst([x=M1[1],y=M1[2]],f),     subst([x=M2[1],y=M2[2]],f),     subst([x=M3[1],y=M3[2]],f) ]; float(F); /*Наибольшее и наименьшее значение*/ Fmin:lmin(float(F)); Fmax:lmax(float(F)); ratprint:false$ wxdraw2d(     dimensions=[600,600],     grid=true,     proportional_axes=xy,     line_width=2,     color=green,     implicit(eq1,x,­25,25,y,­25,25),     implicit(eq2,x,­25,25,y,­25,25),     color=red,     point_type=filled_circle,     points([A1,A2,N,M1,M2,M3]),     color=black,     label_alignment=left,     label(cons("A1",A1),cons("A2",A2),cons("P",P),cons("N",N),         cons("M1",M1),cons("M2",M2),cons("M3",M3)),     color=dark_blue,     implicit(f=F[1],x,­25,25,y,­25,25),     implicit(f=F[2],x,­25,25,y,­25,25),     implicit(f=F[3],x,­25,25,y,­25,25),     implicit(f=F[4],x,­25,25,y,­25,25),     implicit(f=F[5],x,­25,25,y,­25,25),     implicit(f=F[6],x,­25,25,y,­25,25),     implicit(f=F[7],x,­25,25,y,­25,25)); Created with wxMaxima.

  • Математические методы исследования

    , все они обслуживаются, иначе 6 обслуживаются остальные в очереди. Максимальное определяется разве что продолжительностью дня, но оно нам не важно, ведь для больших соответствующие вероятности состояния системы будут пренебрежимо малы (ведь у нас система стационарна, как выяснили выше).1) Граф состояний СМО:2) составляем уравнения Колмогорова для финальных вероятностей этих состояний соответственно (система бесконечна); 3) Решаем полученную систему:;;; ;;; В дальнейшем вероятности будут умножаться на; Подставляем в последнее равенство:;;. Подставляем, получаем финальные вероятности:(и так далее, каждая следующая вероятность начиная с 7 равна предыдущей, умноженной на )4Если система в одном из состояний, То время ожидания равно нулю. Если в состоянии, то среднее время ожидания. Общее среднее время ожидания в очереди:(минут)5Средняя длина очереди (чел)6Для 7 каналов обслуживания средняя длина очереди. То есть, наших 7 каналов достаточно. Пусть теперь их 6. Находим среднюю длину очереди для: Для вероятности имеем: финальные вероятности: ,(расчеты там же)Средняя длина очереди: Значит, 6 каналов недостаточноОтвет: минимальное требуемое число каналов равно 7… 7Покажем, что 6 каналов (и менее) не достаточно. Финальные вероятности выше найдены для. Требуемая вероятность.И так, 6 каналов обслуживания мало. Для 7 каналов (вероятности еще выше выписаны) имеем. То есть 7 каналов достаточно.Ответ: минимальное требуемое число каналов равно 7.8.Для 7 каналов получили среднее время ожидания в очереди. Значит, 7 каналов достаточно для 6 каналов выше нашли средняя длина очереди и то 32,4 человека, а время в 5 раз большеОтвет: минимальное требуемое число каналов равно 7.9.Требуемое условие равносильно тому, что длина очереди не более чел с вероятностью не менее 0,9Оценим требуемую вероятность для 7 каналов.Значит, 7 каналов достаточно.

  • Математическое исследование

    против альтернативы. На основе критерия -Пирсона. Вычисляем для концов интервалов значения величин. Находим теоретические относительные частоты для каждого из интервалов. Для первого,; для внутренних интервалов имеем;.Для последнего.Напомним, что - функции распределения стандартной нормальной случайной величины. Её численные значения находим в таблицах.Получаем: Считаем наблюденное значение статистики критерия.Критическое значение находи как по таблице как квантиль распределения с числом степеней свободы (на 1 меньше числа интервалов) уровня.Или в некоторых таблицах сразу даны критические значения по и… В нашем случае. Нулевую гипотезу о нормально распределении выборки нет причин отвергать.4)Считаем данным, что элементы выборки независимы, имеют одинаковое нормальное распределение.Строим доверительный интервал для среднего, при неизвестной дисперсии.Симметричный, с доверительной вероятностью.Для этого используем центральную функцию, где - вычисленные в пункте 2 несмещенные оценки для среднего и дисперсии, - оцениваемый параметр среднего. Она имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Потому.Где - процентная точка распределения Стьюдента с 99 степенями свободы уровня. По таблицам находим. ;;; Получаем интервал для среднего: с вероятностью.Строим доверительный интервал для дисперсии при неизвестном среднем. Симметричный по вероятности. Для этого используем центральную функцию. Она имеет распределение с степенями свободы. Значит с вероятностью, где ;.И значит с вероятностью. По таблицам находим ;;;.Получаем доверительный интервал для дисперсии: c вероятностью.Задание 2. Имеются следующие данные о сменной добычи угля на одного рабочего (Т) и мощности пласта (м), характеризующие процесс добычи угля в 10 шахтах (см. таблицу).Таблица Выполните следующие задания:1) Вычислить оценку коэффициента корреляции .2) Проверить на уровне значимости гипотезу о незначимой корреляции между и (основная гипотеза ).

×
Оформите заявку на работу - это бесплатно